Cristannus de Prachaticz:
ALGORISMUS PROSAYCUS

edice a překlad Zuzana Silagiová, nakladatelsví OIKOYMENH, Praha 1999

Kniha Křišťana z Prachatic Základy aritmetiky je dochovaný opis z 15. století. Publikace od Zuzany Silagiové obsahuje jak latinský text, tak i překlad.

... Algorismy spolu s Boëthiovou učebnicí De institutions aritmetica, Euklidovou Geometrií a spisem Aritmetica speculativa Thomase Bradwardina tvořily ve středověku soubor příruček, z nichž během studia na artistické fakultě získávaly universitní studenti své matematické vzdělání. ...

Autorem je Křišťan z Prachatic, učitel matematiky a astronomie na pražské fakultě, farář a kazatel. Narodil před rokem 1370 v jihočeských Prachaticích. V roce 1386 odešel na universitu do Prahy, r. 1388 složil na artistické fakultě bakalářské zkoušky a r. 1390 na téže fakultě zkoušky mistrovské. Od toho roku byla jeho činnost až do konce jeho života v r. 1439 spjata s universitou a jejím prostřednicvím i s polytickým a veřejným životem.

Křišťanova práce sestává, mimo předmluvy, z deseti kapitol popisujících jednotlivé aritmetické úkony:

  1. Numeracio - Numerace
  2. Addicio - Sčítání
  3. Subtraccio - Odčítání
  4. Mediacio - Půlení
  5. Duplacio - Zdvojování
  6. Multiplicacio - Násobení
  7. Divisio - Dělení
  8. Progressio - Posloupnost
  9. Extraccio radicum - Odmocňování
  10. Minucie - Zlomky

I. Numeracio - Numerace

V této části podává Křišťan výklad o zapisování čísel pomocí arabských číslic. Jak uvádí autorka edice této knihy, tento termín je však poněkud nepřesný, neboť původ tohoto způsobu zapisování čísel pochází z Indie.

Číslo není nic jiného než shromážděné jednotky. Jednotka však je to, čím se o kažké věci vypovídá, že je totiž jedna.

A číslo je trojí, totiž digitus, artikulus a číslo složené čili smíšené . ...

Jinak a vynalézavěji zaznamenávají Řekové a Latiníci každé číslo pomocí devíti významových číslic, které nazývají digity, a pomocí desáté nevýznamové, kterou nazývají nula. Těchto devět digitů se píše takto ...

V Křišťanově době se odlišně od dnešní podoby psaly tři číslice: čtverka jako nahoře uzavřené X, pětka byla totožná se středověkou zkratkou pro at a sedmička měla podobu rovnoramenného trojújelníka s ostrým vrcholovým úhlem bez základny.

Zpět na obsah

II. Addicio - Sčítání

Sčítání se provádělo stejným způsobem jako jej provádíme v dnešní době, pouze se výsledek zapisoval nahoru nad sčítaná čísla.

Pamatuj, že každé číslo, které má být přičteno k jinému, se nazývá přičítané (totiž pasívně, protože se přičítá) *) a musí se napsat vždy dolů. Avšak to číslo, k němuž se má přičítat (tj. které aktívně přijímá přidávání), se musí napsat nahoru (totiž kvůli důstojnosti, protože aktívní prvek je důstojnější než pasívní), ...

*) Tímto způsobem jsou v knize prezentovány interlineární glosy, které jsou v originále nadepisovány nad dotyčným slovem či skupinou slov.

 

Ukázka sčítání

         86 součet
         --
sčítanec 64 číslo ke kterému se přičítá
sčítanec 22 číslo přičítané

Zpět na obsah

III. Subtraccio - Odčítání

Stejně jako sčítání, tak i odčítání se provádělo stejným způsobem jako jej provádíme v dnešní době. Opět se ale výsledek psal nahoru nad odčítaná čísla.

Podobně jako v předešlém případě se definuje číslo odčítané (tj. nenšitel), které se odečítá od čísla odčítaného.

... A je třeba, aby číslo, od něhož se odčítá, bylo vždy větší než číslo odčítané, nebo jemu rovné, protože menší od většího nebo stejné od stejného může být odečteno, avšak větší od menšího se v žádném případě odečíst nedá. ...

 

Ukázka odčítání

          117  rozdíl
          ---
menšenec  255
menšitel  138

Zpět na obsah

IV. Mediacio - Půlení

Půlení byl samostatný aritmetický úkon a prováděl se odzadu, tj. od jednotek.

...
Chceš-li tedy nějaké číslo půlit (tj. ukázat jeho polovinu) napiš je do řádku po číslicích a začni od první číslice směrem k pravé ruce (tj. zprava směrem k levé ruce).

A jestliže tato číslice bude nula, jdi ke druhé (protože to, co není nic, nemůže být rozpůleno). Bude-li však jiná než nula (tj. bude-li významová), tu bude buď sudá, nebo lichá. Bude-li sudá, pak odeber její polovinu. Bude-li lichá, pak bude buď jednička, nebo větší než jednička. Bude-li to jednička, pak škrtni jedničku a na její místo napiš nulu (totiž kvůli následujícím číslicím, aby neznamenalo méně) a vedle na tabulce napiš (přesně přímo nad nulu, avšak tak, aby nezabralo v řádku žádné místo; přesto však toto d má nějakou hodnotu, protože později, když se bude polovina zdvojnásobovat, musí být vráceno na své místo) d s čárkou, takto: [zde je uveden znak d s čarou], a to bude značit polovinu (jedničky). Bude-li však toto liché číslo větší než jednička, pak odečti jedničku a z tohoto čísla, které zůstane, napiš polovinu (napřed vezmi sudé číslo v něm obsažené). A s odečenou jedničkou nalož jako dřív a napiš d s čárkou.
...
Příklad: Z půlení 610541 vyjde 305270. Zkouška půleníse dělá pomocí zdvojenování a naopak.

 

Ukázka půlení

                                      _
                                      d
úprava       3  0  0+5  (5-1):2  2+5  0  =  305270,5  výsledek
--------------------------------------------------------------
půlené číslo 6  1    0     5       4  1

Zpět na obsah

V. Duplacio - Zdvojování

Stejně tak jako půlení, bylo zdvojování samostatný aritmetický úkon při kterém se začínalo počítat u číslice nejvyššího řádu. Tato číslice se násobila dvěmi a dále se posupovalo směrem do prava. Výsledek se psal rovněž nahoru.

Zde je také uveden jeden z mnoha mnemotechnických veršů (interlineární glosy jsou vynechány):

Sčítej, odčítej též, i půlení prováděj zprava,
zleva pak násob a děl a konej i zdvojování,
kořen - ať ten nebo ten - začni dobývat od levé strany.

 

Ukázka zdvojování

postup           10 (8+1) 2 (0+1) 6  výsledek: 109216
--------------------------------------------------------------
zdvojované číslo  5    4  6    0  8

Zpět na obsah

VI. Multiplicacio - Násobení

...
A číslo, které je násobeno, se jmenuje číslo násobené (pasívně, protože je násobeno), a číslo, které násobí jiné (násobené), se jmenuje číslo násobící (aktivně, protože při násobení koná), a vždy má být vyjádřeno jako příslovce (kvůli rozdílu mezi násobícím a násobeným, jinak by se totiž jedno od druhého nelišilo), např. třikrát čtyři je dvanáct. V tomto případě třikrát (vyjádřené příslovcem, třikrát jako něco formálního) je číslo násobící a čtyři (vyjádřené jménem jako něco materiálního) číslo násobené a číslo 12, které z násobení vyjde, se nazývá číslo vytvořené (protože je vytvořeno násobením dvouprvků, jakoby činného a trpného, tj. jakoby muže a ženy).
...

 

Ukázka násobení

Příklad násobení 427·234

1. krok: násobení čtverky

  1 1
  8 2 6
  ---------
      4 2 7  násobenec
  2 3 4      násobitel

2. krok: Vynásobená čtverka se škrtne, spodními číslicemi
   se vynásobí dvojka z horního činitele, napřed se však
   násobitel posune o jedno místo doprava

    4 6 8     2 vynásobená všemi spodními číslicemi
  --------
  1 1
  8 2 6       4 vynásobená všemi spodními číslicemi
  ---------
      4 2 7
    2 3 4      posun násobitele

3. krok: Škrtne se vynásobená dvojka, násobitel se posune
   o jedno místo a poslední číslice horního čísla, tj. 7,
   se násobí všemi spodními.

      2 2     7 vynásobená všemi spodními číslicemi
    1 4 1 8
  --------
    4 6 8     2 vynásobená všemi spodními číslicemi
  --------
  1 1
  8 2 6       4 vynásobená všemi spodními číslicemi
  ---------
      4 2 7
      2 3 4    posun násobitele

4. (poslední) krok: Mezisoučiny se sečtou.

  9 9 9 1 8   výsledek
  =========
      2 2     7 vynásobená všemi spodními číslicemi
    1 4 1 8
  ---------
    4 6 8     2 vynásobená všemi spodními číslicemi
  ---------
  1 1
  8 2 6       4 vynásobená všemi spodními číslicemi
  =========
      4 2 7
      2 3 4    posun násobitele

Zpět na obsah

VII. Divisio - Dělení

Při dělení se dělenec (číslo dělené) zapisoval do horního řádku, delitel (číslo dělící) do spodního řádku takovým způsobem, aby poslední číslice dělitele byla pod poslední číslicí čísla děleného a výsedek se zapisoval opět nahoru.

 

Ukázka dělení

1. krok: zápis

               X X   výsledky
  dělenec  9 3 6 4
                     mezera pro mezivýsledky
  dělitel  4 1 2

2. krok: nalezení prvního částečného podílu

               2       9 : 4 = 2
  dělenec  9 3 6 4
         - 8 2 4       dělitel násobený kvocientem, tj. 412·2
  dělitel  4 1 2
           1 1 2 4     odečet (936 - 824 = 112), k tomu
                         připsaná další číslice dělence

3. krok: posun dělitele a nalezení dalšího částečného podílu

               2 2     podíl
           9 3 6 4
         - 8 2 4
           1 1 2 4     nový dělenec 11 : 4 = 2
           - 8 2 4     mezera na součin dělitele a kvocientu
                       (412·2 = 824)
             4 1 2     posun dělitele o jedno místo
             3 0 0     zbytek (1124 - 824 = 300)

Zpět na obsah

VIII. Progressio - Posloupnost

V Křišťanově době se učila jen aritmetická posloupnost. Tato se dělila na přirozenou, začínající od jedničky a s rozdílem dvou sousedních členů rovným jedné a přerušovanou, kdy tento rozdíl byl různý od jedné. Při výkladu součtu aritmetické řady se Křišťan odlišuje od Sacroboskovy předlohy; jeho postup vychází z počtu členů posloupnosti a platí pro všechny aritmetické posloupnosti.

  1. Počet členů v posloupnosti je sudé číslo; součet řady se pak vypočítá takto: Počet míst se vydělí dvěmi a znásobí součtem prvního a posledního členu.
  2. Počet členů v posloupnosti je liché číslo; součet řady se pak vypočítá takto: Součet prvního a posledního členu se vydělí dvěmi a vynásobí počtem míst.

Sacroboscův postup vychází z hodnoty posledního členu posloupnosti a při výpočtu se rozlišuje mezi aritmetickou posloupností s diferencí jedna a s diferencí větší než jedna.

  1. Poslední člen posloupnosti je sudé číslo; součet řady se vypočítá takto:
    1. přirozená posloupnost: Polovina posledního čísla se násobí číslem o jedno větší než toto poslední číslo.
    2. přerušovaná posloupnost: Polovina posledního čísla se násobí číslem o jedno větším než tato polovina.
  2. Poslední člen posloupnosti je liché číslo; součet řady se vypočítá takto:
    1. přirozená posloupnost: Větší část (tj. polovina + jedna) posledního čísla se násobí posledním číslem.
    2. přerušovaná posloupnost: Větší část (tj. polovina + jedna) posledního čísla se násobí sebou samou.

 

Ukázka posloupnosti

Křišťan

add A. Sudý počet členů:

   1,2,3,4    (4:2)·(1+4) = 10
   2,4,6,8    (4:2)·(2+8) = 20

add B. Lichý počet členů:

   1,2,3,4,5  [(1+5):2]·5 = 15
   1,3,5,7,9  [(1+9):2]·5 = 25

Sacrobosco

add A. Poslední člen posloupnosti je sudé číslo:

   1,2,3,4    (4:2)·(4+1) = 10
   2,4,6,8    (8:2)·(4+1) = 20

add B. Poslední člen posloupnosti je liché číslo:

   1,2,3,4,5  3·5 = 15
   1,3,5,7,9  5·5 = 25

Zpět na obsah

IX. Extraccio radicum - Odmocňování

K nalezení kořene (namáhavému, neboť ten, kdo jde za objevy, bývá udolán lopatou, a důležitou, protože kořen je první výchozí číslo) čísla čtvercového nebo krychlového je třeba vědět, že číslo čtvercové (nazvané podle čtvercového obrazce) je číslo, které vychází (vzniká) z násobení sebou samým (a tak číslo naásobené sebou samým je čtvercové), např. když řekneme dvakrát dvě jsou čtyři; tedy 4 je číslo čtvercové a číslo 2 je kořen (protože je násobeno samo sebou jedenkrát) tohoto čísla. Krychlové číslo (nazvané podle krychlového tělesa, prvním způsobem) je však to (totiž číslo), které vychází z násobení sebe sama (a ne jiného) sebou (totiž samým) dvakrát ...

 

Ukázka odmocňování

Postup při výpočtu druhé odmocniny z 172189 (= 414, zbytek 793)

9.         7 9 3       zbytek
5.       4 0 8 9
       1 2 1 8 9
1.   1 7 2 1 8 9
2.       8
3.       4 1           dílčí výsledek
      ------------
4.      -8             8·1
          -1           12
       ------------
6.         8 2
7.         4 1 4       výsledek
      ------------
8.      -3 2 8         82·4
            -1 6       42

Zpět na obsah

X. Minucie - Zlomky

Lomené číslo neboli zlomek se nazývá část nějakého celku, např. polovina nějaké věci nebo třetina nebo čtvrtina nebo pětina a tak se popořadě vyjadřují celková lomená čísla čili zlomky celku.

A takováto lomená čísla čili zlomky celku mají dvojí číslo, jehož prostřednictvím se vyjadřují a píší, totiž čitatele a jmenovatele. ...

Zpět na obsah

Poděkování:

Tuto knihu jsem dostal od Zbyňka Kosíka, kterému tímto za ni ještě jednou děkuji.

Zpět na: začátek stránky;

Datum poslední aktualizace: 5. 3. 2002